Lo
que sigue es en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender
de memoria las tablas de multiplicar. Los comprendo perfectamente
porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le
queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la
maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué
tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa”
de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números
cualesquiera sin saber las tablas.
Esto
no representa que no aprendamos la tablas es una forma de hacer mas fácil las operaciones sin una calculadora.
Sólo
se requiere:
a)
saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
b)
saber dividir por 2
c)
saber sumar.
d)
conocer los números impares (identificarlos)
(debemos
recordar que la multiplicación es una serie de sumas)
Es
conocido como la multiplicación
paisana. Se va a ofrecer un ejemplo
que será suficiente para entenderlo.
Supongamos
que queremos multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para
escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136:
En
la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose”
de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un
9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el
resto, que es .5, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9
pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al
volver a dividir por 2, queda 1.
entonces
:
19
19/2 = 9.5 queda : 9
9
9/2 = 4.5 queda : 4
4
4/2 = 4 queda : 2
2
2/2 = 1 queda : 1
1
La
tabla resulta asi:
19
9
4
2
1
Por
otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de
dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de
la primera columna:
136
x 2 =272
272
x 2 = 544
544
x 2 = 1088
1088
x 2 = 2176
(hay
que observar que el 136 se pone al mismo nivel que el 9 de la primer columna).
Cuando
llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la
duplicación en la columna del 136. Es verdaderamente muy sencillo.
Es
decir de la siguiente forma:
19 136
9 272
4 544
2 1088
1 2176
Todo
lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y
multiplicar por 2 en la de la derecha.
Ahora,
sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a
números impares de la izquierda. En este caso:
19
(impar) 136
9
(impar) 272
4 544
2 1,088
1
(impar) 2,176
Al
sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:
136
+ 272 + 2,176 = 2,584
que
es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.
Un
ejemplo más.
Multipliquemos
ahora 375 por 1517. Da lo mismo elegir cualquiera de los dos números
para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer
menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la
columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:
/ 2 x 2
375 1,517
187 3,034
93 6,068
46 12,136
23 24,272
11 48,544
5 97,088
2 194,176
1 388,352
Ahora
hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la
primera columna sean impares
375
(impar) 1,517
187
(impar) 3,034
93
(impar) 6,068
46 12,136
23
(impar) 24,272
11
(impar) 48,544
5
(impar) 97,088
2 194,176
1
(impar) 388,352
1,517
+ 3,034 + 6,068 + 24,272 + 48,544 + 97,088 + 388,352 = 568,875
HAGAN
EJERCICIOS Y COMPÁRELOS CON UNA CALCULADORA
Para
la próxima entrega:
¿Cómo
dividir
sin
saber las tablas de multiplicar?
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EXPLICACIÓN
DE LA MULTIPLICACIÓN
Cuando
uno quiere encontrar la escritura binaria de un número, lo que debe
hacer es dividir el número entre 2 reiteradamente, y anotar los
restos (residuos) que las cuentas arrojan. Por ejemplo:
173
= 86 .
2 + 1
86
= 43 .
2 + 0
43
= 21 .
2 + 1
21
= 10 .
2 + 1
10
= 5 .
2 + 0
5
= 2 .
2 + 1
2
= 1 .
2 + 0
1
= 0 .
2 + 1
De
modo que el número 173 se escribirá (recorriendo los restos de
abajo hacia arriba):
10101101
Supongamos
ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136.
Entonces,
lo que hacíamos era dividir sucesivamente por 2 el número 19:
19
= 9 .
2 + 1
9
= 4 .
2 + 1
4
= 2 .
2 + 0
2
= 1 .
2 + 0
1
= 0
.
2 + 1
Es
decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorriendo de abajo
hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el 10011
Por
otro lado, esto nos dice que el número 19 se escribe así:
19
= 1 . 24
+ 0 . 23
+ 0 . 22
+ 1 . 21
+ 1 . 20
= (16 + 2 + 1)
Luego,
cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, aprovechamos la
escritura en binario de 19, y anotamos:
19
. 136 = 136 . 19 = 136 . (16 + 2 + 1)
(Y
ahora, usando la propiedad distributiva
de la multiplicación, se tiene:)
=
(136 . 16) + (136 . 2) + (136 . 1) = 2.176 + 272 + 136 = 2.584
Esto
explica por qué funciona este método para multiplicar.
De
forma encubierta uno está usando la escritura binaria de uno de los
números.
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EJERCICIOS Y COMPÁRELOS CON UNA CALCULADORA
Para
la próxima entrega
¿Cómo
dividir sin
saber las tablas de multiplicar?
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