Triangulos PARTE III (Radianes)

Medición de ángulos (Radianes).

La medida de un angulo en radianes se basa en la longitud de un arco del circulo:

ecuación de un circulo: x2 + y2 = 1

el arco de un circulo es: cualquier curva continua que une dos puntos. También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.

El arco es la sección de color rojo

Un angulo θ en posición normal se considera formado por la rotación del lado inicial, desde el eje x (positivo) hasta su lado terminal. El lado inicial de θ recorre una distancia t a lo largo de la circunferencia. Se entiende como la medida de θ es de t radianes.

En radianes se usa la misma convención que con la medida en grados: un angulo formado por una rotación contraria al movimiento de las manecillas del reloj, se considera positivo, mientras que un angulo formado por una rotación en sentido del movimiento de las manecillas del reloj se considera como negativo.

Como la circunferencia del circulo es 2π un angulo formado por la rotación en contra de las manecillas del reloj es 2π radianes:

el radio de la circunferencia se coloca de forma como la tangente:

esta linea se subtiende desde el origen a la distancia de esta:

se toma una linea del centro al, origen del arco y otra al punto terminal de este arco, y es lo que se conoce como radian (el nombre proviene de la distancia del radio) el primer segmento es un radian (1 rad).

Tomando de nuevo la distancia del segmento, y colocándola adelante de este, se forma lo que es 2 radianes (2 rad).

Y lo mismo al volver a colocar el segmento adelante del ultimo se forma lo que son 3 radianes (3 rad).

Se puede observar que queda una pequeña porción antes de llegar a los 180°, por lo que se toma como la parte faltante y:

lo que se obtiene es π radianes:

completando el circulo tenemos 2π rad:

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes 

La definición de radian no depende del tamaño del circulo. Para entender esto, lo único que necesitamos hacer es dibujar otro circulo centrado en el vértice de θ, de radio r' y longitud de arco subtendido s'.

Los dos sectores (s , s') son similares las razones s/r y s'/r' son iguales por lo que independientemente del circulo, obtendremos la misma medida en radianes de θ. 

La siguiente ecuación es posible utilizarla tanto para r y como a s. θ (en radianes) = s (unidades de longitud)/r (unidades de longitud).

Esto es un valor adimensional (no posee unidades), es decir si r = 2 pulgadas y s = 4 pulgadas, entonces θ = 4 (pulgadas) / 2 (pulgadas) el resultado es 2, es un numero real. Esta es una de las razones que se omite emplear la palabra radianes cuando se usan radianes en los cálculos.

Tenemos que una rotacion completa del lado inicial de θ atravesara un arco igual en longitud a la circunferencia del circulo 2 π r , se puede deducir que:

una rotación =s/r = 2 π r/r = 2 π radianes.

Formulas de conversión:

La circunferencia de un circulo unitario es 2π, una rotación completa mide 2π radianes, y que también son 360°

Entonces se dice que 360° = 2π radianes, o 180° = π radianes.

Obteniéndose 2 formulas para esto:

Grados = π/180 radian
Radian = (180/π) grados.

Haciendo las operaciones queda:

1° = 0.0174533 radian y 1 radian = 57.29578°

Ejemplos de conversiones:
a) 20° a radianes b) 7π/6 radianes a grados c) 2 radianes a grados

Solución
a)
para la conversión usamos la ecuación:

entonces procedemos así:

b)
se usa la ecuación:

se procede así:

c)
Usamos la ecuación:

y se procede de la siguiente manera:

resumen de los radianes – grados.

Grados	0	30	45	60	90	180
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π

.

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Triángulos (los ángulos)

PARTE II (angulos)

TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO

Medición de ángulos (grados).

Un angulo se forma con dos semirrectas, que tienen un extremo en común llamado vértice . A una semirrecta la llamaremos lado inicial del angulo, y al otro, lado terminal:

Cuando se presenta en el plano cartesiano, (x,y) se dice que el angulo esta en su posición normal. 

MEDICIÓN EN GRADOS 

Se basa en la asignación de 360 grados (se escribe 360°) al angulo formado por una rotación completo en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

Los otros ángulos se miden en función de los 360°, un angulo de 1° es el que se forma de 1/360 de una rotación completa (es 1/360 parte de 360°). 

Si la rotación es contraria al movimiento de las manecillas del reloj, la medida sera positiva, si es en sentido a las manecillas del reloj la medida sera negativa:

En la imagen anterior (lado izquierdo) se obtiene un cuarto (1/4) de rotación, siendo esto es 360° * 1/4 = 360°/4= 90° , en la figura (del lado derecho) el angulo formado por 3/4 en el sentido de las manecillas del reloj, este angulo es -360° * 3/4= -360° *.75 = -270°. 

ÁNGULOS COTERMINANTES 

Observando la imagen anterior y comparando ambos elementos se observa que el angulo terminal de 90° coincide con el lado terminal de -270°. cuando ambos ángulos tienen los mismos lados terminales se dice que son ángulos coterminates

La suma de cualquier múltiplo entero de 360° a un angulo dado da como resultado un angulo coterminal. Al revés, dos ángulos coterminates tienen medidas en grados que difieren por un múltiplo entero de 360°. 

Ejemplo: 

para un angulo de 960°: 

a) ubicar el lado terminal y trazar el angulo. 

b) determinar un angulo coterminal entre 0° y 360° 

c) determinar un angulo coterminal entre -360° y 0° 

a) primero se determinan cuantas rotaciones completas se dan para formar este ángulo. 

Se divide 960 / 360 = 2.66666 , esto es que tiene 2 vueltas completas, el 0.66666 es el residuo, debemos de tratarlo de la siguiente manera: 

360 * 0.66666666 = 239.99999 = 240, por lo que: 

960° = 2(360°) + 240° 

Entonces este angulo se forma dando dos rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj, y haciendo después 240/360 = 120/180 = 60/90 = 20/30 , ambos términos se pueden reducir a lo mínimo, esto es dividirlo entre 10, quedando 2/3 = 0.66666666 que es lo mismo que 240/360 = 0.66666666 lo que hace las fracciones equivalentes.

por tanto son 2 2/3 de vuelta

b) en la figura se muestra que el angulo de 240° es coterminal con un angulo de 960°. 

c) se puede ver el angulo -120° es coterminal del de 960° 

Minutos y segundos. 

Las fracciones de grados se han expresado en minutos y segundos. 

donde : 

1° (léase 1 grado) = 60 minutos (se escribe 1') 

1' (léase 1 minuto) = 60 segundos (se escribe 60”) 

Un angulo se expresa de la siguiente forma: 7 grados, 30 minutos, 5 segundos se escribe de la forma 7°30'5” 

Ejemplos de conversiones: 

Convertir: 

a) 86.23° en grados, minutos, segundos. 

b) 17° 47' 13” en notación decimal. 

a).- 

Como 0.23° se representa como 23/100 de 1° y que 1° = 60'

se tiene 

86.23° = 86° + 0.23° 

=86° + (0.23)(60') 

=86° + 13.8' 

ahora 13.8' = 13 ' + 0.8' , por lo que debemos convertir 0.8' en segundos. Puesto que 0.8' representan 8/10 de 1' y 1' = 60”, tenemos: 

86° +13' + 0.8' = 86°+13'+(0.8)(60”) 

=86° +13' + 48” 

por tanto: 86.23° = 86°13'48” 

b).- 

ya que 1° = 60', se desprende que 1' = (1/60)°. Del mismo modo, encontraremos que 1” = (1/60) = (1/3600)°. Así que: 

17°47'13” = 17° + 47' + 13” 

= 17° + 47(1/60)° + 13(1/3600)° 

= 17° + 0.7833 ° + 0.0036° 

=17.7869° 

NOTA: 3600 es la cantidad de segundos en una hora es decir 60 minutos * 60 segundos.

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