PARTE II (angulos)
TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO
Medición de ángulos (grados).
Un angulo se forma con dos semirrectas, que tienen un extremo en común llamado vértice . A una semirrecta la llamaremos lado inicial del angulo, y al otro, lado terminal:
Cuando se presenta en el plano cartesiano, (x,y) se dice que el angulo esta en su posición normal.
MEDICIÓN EN GRADOS
Se basa en la asignación de 360 grados (se escribe 360°) al angulo formado por una rotación completo en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
Los otros ángulos se miden en función de los 360°, un angulo de 1° es el que se forma de 1/360 de una rotación completa (es 1/360 parte de 360°).
Si la rotación es contraria al movimiento de las manecillas del reloj, la medida sera positiva, si es en sentido a las manecillas del reloj la medida sera negativa:
En la imagen anterior (lado izquierdo) se obtiene un cuarto (1/4) de rotación, siendo esto es 360° * 1/4 = 360°/4= 90° , en la figura (del lado derecho) el angulo formado por 3/4 en el sentido de las manecillas del reloj, este angulo es -360° * 3/4= -360° *.75 = -270°.
ÁNGULOS COTERMINANTES
Observando la imagen anterior y comparando ambos elementos se observa que el angulo terminal de 90° coincide con el lado terminal de -270°. cuando ambos ángulos tienen los mismos lados terminales se dice que son ángulos coterminates
La suma de cualquier múltiplo entero de 360° a un angulo dado da como resultado un angulo coterminal. Al revés, dos ángulos coterminates tienen medidas en grados que difieren por un múltiplo entero de 360°.
Ejemplo:
para un angulo de 960°:
a) ubicar el lado terminal y trazar el angulo.
b) determinar un angulo coterminal entre 0° y 360°
c) determinar un angulo coterminal entre -360° y 0°
a) primero se determinan cuantas rotaciones completas se dan para formar este ángulo.
Se divide 960 / 360 = 2.66666 , esto es que tiene 2 vueltas completas, el 0.66666 es el residuo, debemos de tratarlo de la siguiente manera:
360 * 0.66666666 = 239.99999 = 240, por lo que:
960° = 2(360°) + 240°
Entonces este angulo se forma dando dos rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj, y haciendo después 240/360 = 120/180 = 60/90 = 20/30 , ambos términos se pueden reducir a lo mínimo, esto es dividirlo entre 10, quedando 2/3 = 0.66666666 que es lo mismo que 240/360 = 0.66666666 lo que hace las fracciones equivalentes.
por tanto son 2 2/3 de vuelta
por tanto son 2 2/3 de vuelta
b) en la figura se muestra que el angulo de 240° es coterminal con un angulo de 960°.
c) se puede ver el angulo -120° es coterminal del de 960°
Minutos y segundos.
Las fracciones de grados se han expresado en minutos y segundos.
donde :
1° (léase 1 grado) = 60 minutos (se escribe 1')
1' (léase 1 minuto) = 60 segundos (se escribe 60”)
Un angulo se expresa de la siguiente forma: 7 grados, 30 minutos, 5 segundos se escribe de la forma 7°30'5”
Ejemplos de conversiones:
Convertir:
a) 86.23° en grados, minutos, segundos.
b) 17° 47' 13” en notación decimal.
a).-
Como 0.23° se representa como 23/100 de 1° y que 1° = 60'
se tiene
86.23° = 86° + 0.23°
=86° + (0.23)(60')
=86° + 13.8'
ahora 13.8' = 13 ' + 0.8' , por lo que debemos convertir 0.8' en segundos. Puesto que 0.8' representan 8/10 de 1' y 1' = 60”, tenemos:
86° +13' + 0.8' = 86°+13'+(0.8)(60”)
=86° +13' + 48”
por tanto: 86.23° = 86°13'48”
b).-
ya que 1° = 60', se desprende que 1' = (1/60)°. Del mismo modo, encontraremos que 1” = (1/60) = (1/3600)°. Así que:
17°47'13” = 17° + 47' + 13”
= 17° + 47(1/60)° + 13(1/3600)°
= 17° + 0.7833 ° + 0.0036°
=17.7869°
NOTA: 3600 es la cantidad de segundos en una hora es decir 60 minutos * 60 segundos.
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