Obtener la raíz cuadrada de forma sencilla (aproximación)

El procedimiento es muy sencillo, lo que debemos de saber inicialmente es:

Obtener el cuadrado de un numero.
Saber multiplicar
Saber dividir
Sumar y restar

Los dos primeros son sencillos, puesto que son operaciones cortas y no difíciles.

1.- El valor que deseo obtener de la raíz cuadrada ejemplo 38, buscare un valor de un cuadrado conocido cerca de el, pero que no se pase de este.

El valor mas cercano a 38 es el 36, que proviene del cuadrado de 6 (62 = 36), el de 7 no porque (72 = 49), por lo que el mas cercano es el 36.

2.- Restar el valor que quiero obtener del mas cercano:

38 – 36 = 2

3.- Este ultimo numero lo usaremos de numerador de la siguiente operación:

el denominador (la parte de abajo), el numero 2 que se observa siempre sera parte de la formula, este sera multiplicado por la raíz del valor conocido mas cercano (raíz (36) =6).

4.- el resultado de esto se le suma el 6, la raíz de 36, (que es el valor mas próximo a 38).

quedando así:

6 + 0.16 = 6.16 y este es el resultado de la raíz cuadrada de 38.

NOTA: EL MÉTODO ES UNA APROXIMACIÓN ENTRE MAS SE ALEJE EL VALOR BUSCADO DE UN NUMERO CUADRADO CONOCIDO ESTE SERA MENOS PRECISO EN TODO CASO SE DEBERÁ DE SABER EL CUADRADO MAS PRÓXIMO A EL VALOR BUSCADO, PERO ES MUY BUEN MÉTODO PARA REALIZAR LA RAÍZ CUADRADA SIN CONOCER DEL TODO LA FORMA DE REALIZAR LA RAÍZ CUADRADA TRADICIONAL.

Otro ejemplo:

Este se aleja del valor conocido del cuadrado pero ayuda a saber el valor aproximado:

Obtener la raíz cuadrada de 119

1.- El valor que deseo obtener de la raíz cuadrada 119, buscare un valor de un cuadrado conocido cerca de el, pero que no se pase de este.

El valor mas cercano (en cuadrado) a 119 es el 100, que proviene del cuadrado de 10 (102 = 100), el de 11 no porque (112 = 121), por lo que el mas cercano es el 100

2.- Restar el valor que quiero obtener la raíz del cuadrado mas cercano:

119 – 100 = 19

3.- Este ultimo numero lo usaremos de numerador de la siguiente operación:

el denominador (la parte de abajo), el numero 2 que se observa siempre sera parte de la formula, este sera multiplicado por la raíz del valor conocido mas cercano (raíz (100) =10).

4.- El resultado de esto se le suma el 10, la raíz de 100, (que es el valor mas próximo a 119).

quedando así:

10 + 0.95 = 10.95 y este es el resultado de la raíz de 119 (aprox.) el valor real es 10.908, como dije al comienzo es una aproximación pero es muy útil.

Se puede decir que la primer cifra significativa (el primer numero después del punto decimal) es el representativo del valor calculado.

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EXPLICACIÓN:

Opcional mente pueden consultar lo siguiente , o para los que desean una explicación de donde proviene este método, pero de forma general podemos decir que hay maneras fáciles de hacer las operaciones matemáticas y no necesariamente de la forma mas compleja y no hay matemática que sea complicada, es solo la forma de explicarlas es donde viene lo complejo.

El método se basa en una función del calculo diferencial, y también es posible desde calculo integral, hacer la explicación, no es necesario que lo entiendan del todo, lo que es importante que esta este método para facilitar la resolución de la raíz cuadrada.

(interpretación geométrica de la diferencial)

O bien si se le considera desde el cálculo integral:

la interpretación gráfica de esto:

si se observa la gráfica presenta un curva que son los cuadrados de los números y no es una recta, y conforme se va moviendo al lado derecho, sigue la forma mostrada así que sera una aproximación.

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Como dividir sin las usar tablas de multiplicar.

Debo recalcar que no se trata de olvidarnos de las tablas, sino de discutir si vale la pena someter a los alumnos a la “tortura” de tener que aprender de memoria una cantidad de números a una edad en la que podrían dedicarle ese tiempo y esa energía a otras cosas, mientras esperamos que la maduración natural les permita deducir a ellos solos qué son las tablas y para qué sirven.

Eso sí: como uno no puede (o no quiere) esperar tanto tiempo para aprender a dividir y multiplicar, necesita encontrar métodos alternativos para hacerlo. Seguramente habrá otros mejores, se invita a proponerlos.

Para poder dividir dos números sin tener que saber las tablas de multiplicar hace falta saber sumar, restar y multiplicar por 2.

El método consiste en fabricar cuatro columnas de números a partir de los dos números que uno tiene como datos

Para dividir 712 entre 31, completo en primer lugar la primera columna y luego la cuarta:

31 por 2, y el valor por 2

y debo de detenerme en 496, porque si multiplico 496 x 2 = 992, y este valor es mayor que 712, pero este numero lo dejo al final.

En la cuarta columna comienzo con el 1 y lo multiplico por 2 en cada paso y me detengo cuando el valor de la primera columna sobrepase el valor de la división en este caso 496.

31			1
62			2
124			4
248			8
496			16
712

Para realizar el siguiente paso, lo que necesita saber es restar. Se empieza de abajo hacia arriba, restando el número que tenemos para dividir (el 712) menos el penultino número de la columna uno (496). Al resultado, lo anoto en la columna dos, y así sera el 216. Ahora comparo el 216 con el 248. Como no lo podemos restar (porque 216 es menor que 248, y sólo trabajamos con números positivos), guardamos el 216 en la columna tres.

31		30	1
62	30		2
124	92		4
248		216	8
496	216		16
712

Ahora sigo hacia arriba (comparando siempre con la primera columna): como 216 es mayor que 124, entonces los resto.

El resultado (92) va en la segunda columna. Un paso más: como 92 es mayor que 62, los resto nuevamente y obtengo el 30. Otra vez lo pongo en la segunda columna. Y aquí, como 30 es menor que 31, no lo puedo restar y lo vuelvo a anotar en la tercera columna.

Sólo falta un paso, y digamos que el proceso hasta acá fue muy sencillo. ¿Cómo termina? Todo lo que hay que hacer es sumar los números de la cuarta columna que tengan un compañero en la segunda. Es decir:

2 + 4 + 16 = 22

Y obtenemos el número que estábamos buscando.

El resultado de dividir 712 entre 31 es 22, y sobra el número 30, que figura en la columna tres, donde paré el proceso.

Verifíquelo:

31 * 22 = 682

Como escribí más arriba, el resto es 30. Luego:

682 + 30 = 712

Resumen: se arman cuatro columnas.

En la primera y la cuarta se trata de ir multiplicando por 2, empezando en la columna de la izquierda por el número por el que queremos dividir, y en la de la derecha, por el número 1.

En las columnas del medio se anotan los resultados de las restas, y cuando se puede restar, el número se guarda en la columna dos. Cuando no se puede restar, se coloca en la columna tres. El cociente se obtiene sumando los números de la cuarta columna que tienen un compañero en la segunda. Y el resto es el número que sobra en la columna dos o en la columna tres.

Ahora dividamos 13.275 entre 91. Construyo la tabla:

91	80		1
182		171	2
364		171	4
728		171	8
1456	171		16
2912		1627	32
5824		1627	64
11648	1627		128
13275

Con la tabla conseguimos, entonces, el cociente y el resto.

El cociente, de sumar los números de la cuarta columna que tengan un compañero en la columna dos.

Es decir:

1 + 16 + 128 = 145

Para determinar el resto miramos lo que sobró donde paré el proceso. En este caso, el número 80.

Verificación:

145 * 91 = 13.195

13.195 + 80 = 13.275

Creo que hay que explotar estos métodos para que no sea una tortura, realizar esta operaciones.

Próxima entrega obtener la raíz cuadrada de forma sencilla (aproximación).

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¿Cómo multiplicar sin usar las tablas de multiplicar?

Lo que sigue es en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas.

Esto no representa que no aprendamos la tablas es una forma de hacer mas fácil las operaciones sin una calculadora.

Sólo se requiere:

a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);

b) saber dividir por 2

c) saber sumar.

d) conocer los números impares (identificarlos)

(debemos recordar que la multiplicación es una serie de sumas)

Es conocido como la multiplicación paisana. Se va a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo.

Supongamos que queremos multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136:

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es .5, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.

entonces :

19 19/2 = 9.5 queda : 9

9 9/2 =     4.5 queda : 4

4 4/2 =     4 queda : 2

2 2/2 =     1 queda : 1

1

La tabla resulta asi:

19

9

4

2

1

Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna:

136 x 2 =272

272 x 2 = 544

544 x 2 = 1088

1088 x 2 = 2176

(hay que observar que el 136 se pone al mismo nivel que el 9 de la primer columna).

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Es verdaderamente muy sencillo.

Es decir de la siguiente forma:

19    136

9      272

4      544

2    1088

1    2176

Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha.

Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:

19 (impar)  136

9 (impar)    272

4                 544

2              1,088

1 (impar)  2,176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:

136 + 272 + 2,176 = 2,584

que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.

Un ejemplo más.

Multipliquemos ahora 375 por 1517. Da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:

/ 2            x 2

375      1,517

187      3,034

93        6,068

46      12,136

23      24,272

11      48,544

5        97,088

2      194,176

1      388,352

Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la primera columna sean impares

375 (impar)     1,517

187 (impar)     3,034

93 (impar)       6,068

46                  12,136

23 (impar)      24,272

11 (impar)      48,544

5 (impar)        97,088

2                   194,176

1 (impar)       388,352

1,517 + 3,034 + 6,068 + 24,272 + 48,544 + 97,088 + 388,352 = 568,875

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Para la próxima entrega:

¿Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar?

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EXPLICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN

Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un número, lo que debe hacer es dividir el número entre 2 reiteradamente, y anotar los restos (residuos) que las cuentas arrojan. Por ejemplo:

173 =  86 . 2 + 1

86 =    43 . 2 + 0

43 =    21 . 2 + 1

21 =    10 . 2 + 1

10 =      5 . 2 + 0

5 =        2 . 2 + 1

2 =        1 . 2 + 0

1 =        0 . 2 + 1

De modo que el número 173 se escribirá (recorriendo los restos de abajo hacia arriba):

10101101

Supongamos ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136.

Entonces, lo que hacíamos era dividir sucesivamente por 2 el número 19:

19 = 9 . 2 + 1

9 =   4 . 2 + 1

4 =   2 . 2 + 0

2 =  1 . 2 + 0

1 =  0 . 2 + 1

Es decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorriendo de abajo hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el 10011

Por otro lado, esto nos dice que el número 19 se escribe así:

19 = 1 . 2⁴ + 0 . 2³ + 0 . 2² + 1 . 2¹ + 1 . 2⁰ = (16 + 2 + 1)

Luego, cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, aprovechamos la escritura en binario de 19, y anotamos:

19 . 136 = 136 . 19 = 136 . (16 + 2 + 1) 

(Y ahora, usando la propiedad distributiva de la multiplicación, se tiene:)

= (136 . 16) + (136 . 2) + (136 . 1) = 2.176 + 272 + 136 = 2.584

Esto explica por qué funciona este método para multiplicar.

De forma encubierta uno está usando la escritura binaria de uno de los números.

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Para la próxima entrega

¿Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar?