¿Cómo multiplicar sin usar las tablas de multiplicar?

Lo que sigue es en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas.

Esto no representa que no aprendamos la tablas es una forma de hacer mas fácil las operaciones sin una calculadora.

Sólo se requiere:

a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);

b) saber dividir por 2

c) saber sumar.

d) conocer los números impares (identificarlos)

(debemos recordar que la multiplicación es una serie de sumas)

Es conocido como la multiplicación paisana. Se va a ofrecer un ejemplo que será suficiente para entenderlo.

Supongamos que queremos multiplicar 19 por 136. Entonces, prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19 y otra, debajo del 136:

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19 hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente 9, uno ignora el resto, que es .5, y sigue dividiendo por 2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.

entonces :

19 19/2 = 9.5 queda : 9

9 9/2 =     4.5 queda : 4

4 4/2 =     4 queda : 2

2 2/2 =     1 queda : 1

1

La tabla resulta asi:

19

9

4

2

1

Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136, en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados a la par de la primera columna:

136 x 2 =272

272 x 2 = 544

544 x 2 = 1088

1088 x 2 = 2176

(hay que observar que el 136 se pone al mismo nivel que el 9 de la primer columna).

Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Es verdaderamente muy sencillo.

Es decir de la siguiente forma:

19    136

9      272

4      544

2    1088

1    2176

Todo lo que hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar por 2 en la de la derecha.

Ahora, sume sólo los números de la columna derecha que corresponden a números impares de la izquierda. En este caso:

19 (impar)  136

9 (impar)    272

4                 544

2              1,088

1 (impar)  2,176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:

136 + 272 + 2,176 = 2,584

que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.

Un ejemplo más.

Multipliquemos ahora 375 por 1517. Da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:

/ 2            x 2

375      1,517

187      3,034

93        6,068

46      12,136

23      24,272

11      48,544

5        97,088

2      194,176

1      388,352

Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros de la primera columna sean impares

375 (impar)     1,517

187 (impar)     3,034

93 (impar)       6,068

46                  12,136

23 (impar)      24,272

11 (impar)      48,544

5 (impar)        97,088

2                   194,176

1 (impar)       388,352

1,517 + 3,034 + 6,068 + 24,272 + 48,544 + 97,088 + 388,352 = 568,875

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Para la próxima entrega:

¿Cómo dividir sin saber las tablas de multiplicar?

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EXPLICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN

Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un número, lo que debe hacer es dividir el número entre 2 reiteradamente, y anotar los restos (residuos) que las cuentas arrojan. Por ejemplo:

173 =  86 . 2 + 1

86 =    43 . 2 + 0

43 =    21 . 2 + 1

21 =    10 . 2 + 1

10 =      5 . 2 + 0

5 =        2 . 2 + 1

2 =        1 . 2 + 0

1 =        0 . 2 + 1

De modo que el número 173 se escribirá (recorriendo los restos de abajo hacia arriba):

10101101

Supongamos ahora que uno quiere multiplicar 19 por 136.

Entonces, lo que hacíamos era dividir sucesivamente por 2 el número 19:

19 = 9 . 2 + 1

9 =   4 . 2 + 1

4 =   2 . 2 + 0

2 =  1 . 2 + 0

1 =  0 . 2 + 1

Es decir que la escritura binaria del 19 se obtiene recorriendo de abajo hacia arriba los restos; por lo tanto, se tiene el 10011

Por otro lado, esto nos dice que el número 19 se escribe así:

19 = 1 . 2⁴ + 0 . 2³ + 0 . 2² + 1 . 2¹ + 1 . 2⁰ = (16 + 2 + 1)

Luego, cuando uno tiene que multiplicar 19 por 136, aprovechamos la escritura en binario de 19, y anotamos:

19 . 136 = 136 . 19 = 136 . (16 + 2 + 1) 

(Y ahora, usando la propiedad distributiva de la multiplicación, se tiene:)

= (136 . 16) + (136 . 2) + (136 . 1) = 2.176 + 272 + 136 = 2.584

Esto explica por qué funciona este método para multiplicar.

De forma encubierta uno está usando la escritura binaria de uno de los números.

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