Triángulos Parte IV (Ángulos complementarios y suplementarios, calculo de longitud de arco)

Comenzaremos con un recordatorio de geometría, a un angulo de 90° se le llama ángulo recto, y un angulo de 180° se llama ángulo recto doble. En radianes π/2 es un angulo recto, y π es un angulo recto doble. Un angulo agudo mide entre 0° y 90° (o entre 0 y π/2 radianes), y un angulo obtuso mide entre 90° y 180° (o entre π/2 y π radianes).

Dos ángulos agudos son complementarios si suman 90° (o π/2 radianes).

Dos ángulos positivos son suplementarios si suman 180° (o π radianes). Un triangulo que contiene un angulo recto se llama triangulo rectángulo.

Un angulo cuyo lado terminal coincide con un eje de coordenadas se llama angulo cuadrantal. Por ejemplo, 90° (o π/2 radianes) es un angulo cuadrantal.

Las longitudes a,b,c de los lados de un triangulo rectángulo satisfacen la relación pitagórica a2 + b2 = c2, donde c es la longitud del lado opuesto al angulo recto (la hipotenusa); los otros lados son los catetos.

a) calcular el angulo que es complementario de θ = 74.23°

b) calcular el angulo que es suplementario de θ = π/3 radianes.

Solución:

a) Como dos ángulos son complementarios si suman 90°, se ve que el angulo que es complementario de θ = 74.23°

90° - θ = 90° - 74.23° = 15.77°

b) como 2 ángulos son suplementarios si suman π radianes, se ve que el angulo que es suplementario de θ = π/3 radianes es:

π – θ = π – π/3 = 3π/3 – π/3 = 2π/3 radianes.

LONGITUD DE ARCO

Con un angulo θ con su vértice en el centro de un circulo de radio r se llama angulo central θ se llama sector.

La longitud del arco del circulo abarcado (subtendido, o cortado) por el angulo θ, se representa con s. Cuando se mide en radianes, el angulo central corresponde a θ/2π de una rotación completa. Por consiguiente, el arco abarcado por θ es θ/2π de la circunferencia del circulo. Así, la longitud s del arco es

siempre que θ se exprese en radianes. Este resultado se resume asi:

Un angulo central de θ radianes en un circulo de radio r abarca un arco de longitud.

s = rθ

mediante esta ecuación se puede expresar la medida de θ en radianes de un angulo central, en un circulo, en función de la longitud del arco abarcando s y del radio r del circulo.

Θ (en radianes) = s/r.

Calculo de la longitud del arco:

a) 2 radianes en un circulo de 6 pulgadas de radio

b) 30° en un circulo de 12 pies de radio.

Solución:

a) de acuerdo a la formula Θ (en radianes) = s/r, de la longitud del arco , con θ=2 radianes, y r = 6, pulgadas, s = rθ, 2*6 = 12. Entonces la longitud del arco es de 12 pulgadas.

b) primero se debe expresar 30° en radianes. Recordando que 30° = π/6 radianes, entonces usando la formula anterior de la longitud de arco s=θr, (12)(π/6) = 2π. Entonces la longitud del arco es 2π, entonces la longitud del arco es 2π = 6.28 pies

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